De wet van Ohm / de wet van Kirchhoff met behulp van lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Probeer Ons Instrument Voor Het Oplossen Van Problemen





In dit artikel proberen we de wet van Ohm en de wet van Kirchhoff te begrijpen door middel van technische standaardformules en verklaringen, en door lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde toe te passen om voorbeeldprobleemreeksen op te lossen.

Wat is een elektrisch circuit?

Een eenvoudigste elektrische schakeling heeft over het algemeen de vorm van een serieschakeling met een energiebron of een elektromotorische krachtinvoer, zoals van een batterij, of een gelijkstroomgenerator, en een weerstandsbelasting die deze energie verbruikt, bijvoorbeeld een elektrische lamp, zoals weergegeven in het onderstaande diagram:





Verwijzend naar het diagram, wanneer de schakelaar is gesloten, stroom ik passeert de weerstand, waardoor er een spanning over de weerstand wordt gegenereerd. Dit betekent dat, wanneer gemeten, de potentiaalverschillen aan de twee eindpunten van de weerstand verschillende waarden zullen vertonen. Dit kan worden bevestigd met een voltmeter.


Uit de hierboven toegelichte situatie kan de wet van de standaard Ohm worden afgeleid als:

De spanningsval ER over een weerstand is evenredig met de momentane stroom I en kan worden uitgedrukt als:

ER = RI (Vergelijking # 1)

In de bovenstaande uitdrukking, R wordt gedefinieerd als de evenredigheidsconstante en wordt de weerstand van de weerstand genoemd.

Hier meten we de spanning IS in Volt, de weerstand R in Ohms, en de stroom ik in ampère.

Dit verklaart de wet van Ohm in zijn meest elementaire vorm binnen een eenvoudig elektrisch circuit.
In complexere circuits zijn nog twee essentiële elementen opgenomen in de vorm van condensatoren en inductoren.



Wat is een inductor

Een inductor kan worden gedefinieerd als een element dat een verandering in de stroom tegengaat, waardoor een traagheidseffect ontstaat in de stroom van elektriciteit, net zoals een massa dat doet in mechanische systemen. Experimenten hebben het volgende opgeleverd voor inductoren:

De spanningsval DE over een spoel is evenredig met de momentane tijd van verandering van de huidige I.Dit kan worden uitgedrukt als:

EL = L dl / dt (Vergelijking # 2)

waarbij L de evenredigheidsconstante wordt en wordt genoemd als de inductantie van de inductor, en wordt gemeten in henrys. Tijd t wordt gegeven in seconden.

Wat is een condensator

Een condensator is gewoon een apparaat dat elektrische energie opslaat. Experimenten stellen ons in staat om de volgende verklaring te krijgen:

De spanningsval over een condensator is evenredig met de momentane elektrische lading Q op de condensator, dit kan worden uitgedrukt als:

EC = 1 / C x Q (Vergelijking # 3)

waarbij C wordt aangeduid als de capaciteit , en wordt gemeten in farads de aanklacht Q wordt gemeten in Coulombs.

Maar sinds Ik (c)dQ / dt, we kunnen de bovenstaande vergelijking schrijven als:



De waarde van current Het) kan in een bepaald circuit worden opgelost door de vergelijking op te lossen die wordt geproduceerd door de volgende natuurkundige wet toe te passen:

De wet van Kirchhoff (KVL) begrijpen

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) was een Duitse natuurkundige, zijn populaire wetten kunnen als volgt worden uitgelegd:

Volgens de huidige wet (KCL) van Kirchhoff:

Op elk punt van een circuit is de som van de instromende stromen gelijk aan de som van de uitstromende stroom.

De Voltage Law (KVL) van Kirchhoff stelt dat:

De algebraïsche som van alle momentane spanningsdalingen rond een gesloten lus is nul, of de spanning die op een gesloten lus wordt uitgeoefend, is gelijk aan de som van de spanningsdalingen in de rest van de lus.

Voorbeeld 1: Verwijzend naar het RL-diagram hieronder, en door vergelijking # 1,2 en de Kirchhoff-spanning te combineren, kunnen we de volgende uitdrukking afleiden:

Vergelijking: 4



Laten we dit geval A beschouwen met een constante elektromotorische kracht:



In de hierboven beschreven vergelijking # 4 als E = E0 = constant, dan kunnen we de volgende vergelijking uitvoeren:

Vergelijking: 5

Hier nadert de laatste term nul als t neigt naar oneindig te gaan, zodat Het) neigt naar de grenswaarde E0 / R. Na een voldoende lange vertraging kom ik bij een praktisch constante, zonder afhankelijk te zijn van de waarde van c, wat ook impliceert dat dit onafhankelijk zal zijn van een initiële toestand die door ons kan worden opgelegd.

Rekening houdend met de oorspronkelijke voorwaarde, I (0) = 0, krijgen we:

Vergelijking: 5 *




Geval B (periodieke elektromotorische kracht):




Overwegen E (t) = Eo zonde ωt, dan kan door rekening te houden met vergelijking # 4 de algemene oplossing voor Geval B worden geschreven als:
(∝ = R / L)


Door het in onderdelen te integreren, krijgen we:





Dit kan verder worden afgeleid als:
ઠ = arc tot ωL / R

Hier neigt de exponentiële term naar nul te naderen, omdat deze de neiging heeft om oneindig te bereiken. Dit impliceert dat zodra een voldoende lange tijdsperiode is verstreken, de stroom I (t) praktisch harmonische oscillaties bereikt.




Vorige: Wat is transistorverzadiging Volgende: Load-Line-analyse in BJT-circuits